batman

pz3/doc.yaml

@@ -0,0 +1 @@
+../doc-pz.yaml

pz3/ТВО_КНТ_22_1_Орлов_ПЗ3.typ

@@ -0,0 +1,117 @@
+#import "@local/nure:0.1.0": *
+
+#show: pz-lb.with(..yaml("doc.yaml"), worknumber: 3, title: "Розв'язування систем лінійних рівнянь")
+
+#v(-spacing)
+
+== Мета роботи
+#v(-spacing)
+
+Реалізувати розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом
+Гауса з імітацією паралельних обчислень та розрахувати показники ефективності.
+
+== Хід роботи
+#v(-spacing)
+Запишемо вихідну систему. Ми використаємо алгоритм Гауса для знаходження її рівнянь.
+Почнемо з прямого ходу.
+$
+  mat(
+    1, 3, 2, 1;
+    2, 7, 5, 18;
+    1, 4, 6, 26;
+    augment: #(-1)
+  )
+$
+
+Маємо $a_11 = 1$, тож можемо не ділити перший рядок, а одразу віднімати його
+(помножений на 2 та 1, відповідно) від другого та третього. У результаті
+отримуємо:
+$
+  mat(
+    1, 3, 2, 1;
+    0, 1, 1, 16;
+    0, 1, 4, 25;
+    augment: #(-1)
+  )
+$
+
+Помноживши його на 1, віднімаємо другий рядок від третього. Результат:
+$
+  mat(
+    1, 3, 2, 1;
+    0, 1, 1, 16;
+    0, 0, 3, 9;
+    augment: #(-1)
+  )
+$
+
+Для зворотнього ходу застосуємо формулу $x_i = (b_i - sum_(j=i+1)^n a_(i j) dot x_j)/a_(i i)$
+$ x_3 = 9 / 3 = 3 $
+$ x_2 = (16 - 3) / 1 = 13 $
+$ x_1 = (1 - (39 + 6)) / 1 = -44 $
+
+Для розпаралелювання алгоритму використано схему стрічкового циклічного
+розділення даних. Це дозволяє рівномірно
+розподілити навантаження, оскільки кількість активних рядків зменшується з
+кожною ітерацією.
+
+Відповідно до методичних вказівок, для ефективної реалізації операцій розсилки
+даних обрана топологія мережі "Гіперкуб".
+Це зумовлено тим, що основною комунікаційною операцією є
+передача ведучого рядка від одного процесора всім іншим, що в такій топології
+виконується за логарифмічний час $O(log_2 p)$.
+
+Прямий хід складається з $n-1$ ітерацій. Нехай $k$ — номер поточної ітерації ($0 <= k < n-1$).
+
++ Вибір ведучого елемента: процесор, що містить рядок $k$, обирає головний елемент $a_(k k)$;
++ комунікація (Broadcast): процесор-власник розсилає рядок $k$ та елемент $b_k$ усім іншим процесорам. Трудомісткість цієї операції оцінюється як: $(n-1) log_2 p dot (alpha + w dot n / beta)$;
++ Обчислення: кожен процесор модифікує свої локальні рядки $i$ ($i > k$):
+  $ l_(i k) = a_(i k) / a_(k k) $
+  $ a_(i j) = a_(i j) - l_(i k) dot a_(k j) $
+  $ b_i = b_i - l_(i k) dot b_k $
+
+Алгоритм розпаралелювання зворотнього ходу виконується від $i = n-1$ до $0$.
+
+1. Обчислення кореня: Процесор-власник рядка $i$ знаходить $x_i$:
+  $ x_i = (b_i - sum_(j=i+1)^(n-1) a_(i j) dot x_j) / a_(i i) $
+2. Комунікація: Знайдене значення $x_i$ розсилається всім процесорам.
+  Трудомісткість: $(n-1) log_2 p (alpha + w/beta)$.
+3. Оновлення: Процесори підставляють відоме $x_i$ у свої рівняння для рядків $k < i$.
+
+Оцінка ефективності базується на припущенні про використання топології
+"Гіперкуб", що дозволяє виконувати операції розсилки даних
+(Broadcast) та редукції за логарифмічний час $O(log_2 p)$.
+
+1. послідовний алгоритм ($T_1$):
+  трудомісткість послідовного методу Гаусса складається з суми операцій прямого ходу ($approx 2/3 n^3$) та зворотного ходу ($approx n^2$, враховуючи лише ділення та множення). Згідно з методичними вказівками, загальна складність становить:
+  $ T_1 approx 2/3 n^3 + 2 n^2 $
+
+2. паралельний алгоритм ($T_p$):
+  загальний час виконання складається з обчислювальної частини та комунікаційних витрат.
+  Обчислювальна складова: При використанні циклічного розподілу рядків навантаження балансується рівномірно, тому час обчислень зменшується пропорційно кількості процесорів:
+  $ T_("comp") approx 1/p dot (2/3 n^3) dot tau $
+  де $tau$ — час виконання однієї базової арифметичної операції.
+
+  Комунікаційна складова ($T_("comm")$): Включає три основні етапи взаємодії на кожній ітерації (пошук ведучого елемента, розсилка рядка, зворотна підстановка). Для $n$ ітерацій на топології гіперкуба сумарні витрати оцінюються формулою:
+  $ T_("comm") approx (n-1) dot log_2 p dot (3 alpha + (w(n+2))/beta) $
+  де $alpha$ — латентність мережі, $beta$ — пропускна здатність каналу, $w$ — розмір елемента даних у байтах.
+
+  Сумарна трудомісткість ($T_p$):
+  $ T_p = T_("comp") + T_("comm") approx (2 n^3)/(3 p) tau + n log_2 p (3 alpha + (w n)/beta) $
+
+3. показники ефективності:
+  на основі наведених вище оцінок, теоретичне прискорення ($S_p$) та ефективність ($E_p$) розраховуються як:
+  $ S_p = T_1 / T_p = (2/3 n^3 + 2 n^2)/((2 n^3)/(3 p) tau + n log_2 p (3 alpha + (w n)/beta)) $
+  $ E_p = S_p / p = (2/3 n^3 + 2 n^2)/((2 n^3)/(3 p) tau + n log_2 p (3 alpha + (w n)/beta))/p $
+
+  При $n >> p$ (коли розмірність задачі значно перевищує кількість процесорів), вплив комунікаційної складової зменшується, і $E_p$ наближається до 1. Однак при фіксованому $n$ збільшення $p$ призводить до зростання частки $T_("comm")$ у загальному часі, що знижує ефективність.
+
+== Висновки
+
+Було реалізувано розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом
+Гауса з імітацією паралельних обчислень та розрахувано показники ефективності.
+Для розв'язання СЛАР методом Гаусса на $p$ процесорах використано
+одновимірну декомпозицію даних по рядках.
+Оптимальною топологією було визначено гіперкуб,
+оскільки алгоритм потребує постійної
+розсилки даних ("один-до-всіх") на кожній ітерації.