batman

pz2/doc.yaml

@@ -0,0 +1 @@
+../doc-pz.yaml

pz2/ТВО_КНТ_22_1_Орлов_ПЗ2.typ

@@ -0,0 +1,70 @@
+#import "@local/nure:0.1.0": *
+
+#show: pz-lb.with(
+  ..yaml("doc.yaml"),
+  worknumber: 2,
+  title: "Pішення найпростіших математичних завдань за допомогою алгоритмів паралельних обчислень",
+)
+
+#v(-spacing)
+
+== Мета роботи
+#v(-spacing)
+Метою роботи є оволодіння основними навичками аналізу трудомісткості
+паралельних обчислень на прикладі паралельного алгоритму множення матриць,
+визначення основних характеристик трудомісткості та їх залежності від схеми
+обчислень та кількості процесорів. Отримання досвіду оцінки трудомісткості
+паралельних обчислень за допомогою основних теорем.
+
+== Хід роботи
+#v(-spacing)
+
+Темою на розгляд у даній роботі є множення матриць.
+Елементи результуючої матриці розраховуютсья за наступною формулою: $c_(i j) = sum_(k=1)^n a_(i k)*b(k j)$
+Візьмемо дві матриці розмірністю $n times n$.
+Для розрахунку одного елементу результуючої матриці знадобиться $n + (n - 1) = 2n - 1$ операцій ($n$ множень, $n-1$ додавань).
+Враховуючи $n^2$ елементів у вихідних матрицях, для розрахунку результату на одному процесорі (враховуючи, що одна операція займає одну одиницю часу)
+знадобиться рівно $(2n - 1) * n^2$ одиниць часу. Іншими словами, час розрахунку на одному процесорі можна описати так:
+$ T_1 = (2n - 1) * n^2 $
+
+// NOTE: завдання 2
+Спершу, розрахуємо всі основні показники для $p = n^2$. Враховуючи, що кількість процесорів дорівнює кількості елементів,
+можемо зазначити, що час на виконання у багатопоточному режимі буде дорівнювати часу обробки одного елемента $T_p = 2n - 1$.
+$ S_p = T_1/T_(n^2) = ((2n-1) dot n^2)/(2n-1) = n^2 $
+$ E_p = S_p/p = n^2/n^2 = 1 $
+$ C_p = T_p dot p = (2n-1) dot n^2 $
+Відмітимо, що ефективність $E_p$ дорівнює одиниці, що означає 100% використання всіх процесорів під час роботи алгоритму.
+Також, ціна дорівнює часу виконання на одному процесорі, що дає нам привід назвати цей розподіл роботи вартісно-оптимальним. // NOTE: E_p = S_p/p = T_1/C_p
+
+// NOTE: завдання 3
+Наступним кроком, визначимо кількість процесорів і розподіл робіт, що забезпечує підвищення прискорення $S_p$ відносно попереднього варіанту.
+// S_p = T_1 / T_p
+Враховуючи, що ми не можемо впливати на кількість обробки елементів одним процесором,
+ми зменшимо кількість обробки $p$ процесорами, взявши $p = n^3$.
+Ця міра дозволить нам зменшити час обробки всіх елементів до наступного:
+$ T_p = T_"mult" + T_"sum" = 1 + log_2 n $
+Де $T_"mult" = 1$ тому що ми розділили час множення елементів $n$ на кількість процесорів $n$, та $T_"sum" = log_2 n$, використовуючи каскадний алгоритм додавання, згідно з теор. 1 та 2.
+
+Розрахуємо основні показники для даного розподілу.
+$ S_p = T_1/T_(n^3) = ((2n-1) dot n^2)/(1+log_2 n) $
+$ E_p = S_p/p = ((2n-1) dot n^2)/(1+log_2 n)/n^3 = (2n-1)/(n(1+log_2 n)) = (2n-1)/(n+log_2 n^n) $
+$ C_p = T_p dot p = (1+log_2 n) dot n^3 $
+
+// NOTE: завдання 4
+Далі, визначимо розподіл робіт, при якому кількість процесорів може бути меншою, ніж в попередній задачі.
+Для цього, візьмемо $p=n$. Використовуючи логіку з попередніх задач, визначимо паралельний час виконання: $T_p = n dot (2n - 1)$
+
+Розрахуємо основні показники для даного розподілу.
+$ S_p = T_1/T_(n) = ((2n-1) dot n^2)/(n dot (2n-1)) = n $
+$ E_p = S_p/p = n/n = 1 $
+$ C_p = T_p dot p = ((2n-1) dot n) dot n = (2n - 1) dot n^2 $
+Можемо побачити абсолютно ідентичну ситуацію з усіма показниками (окрім прискорення)
+з розподілом робіт, де $p=n^2$. Це означає, що цей алгоритм використовує процесори 100% часу
+роботи алгоритма, а також є вартісно-оптимальним.
+
+== Висновки
+
+Було проведено аналіз розпаралелювання алгоритму добутку двох матриць, розмірністю $n times n$. Було застосовано декілька конфігурацій з різною кількістю процесорів.
+Для кожної конфігурації було розраховано основні параметри.
+Було отримано досвід оцінки трудомісткості
+паралельних обчислень за допомогою основних теорем.